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耳机线打结也是拓扑学？日常现象背后的神奇定理~

2016年10月05日 00:00:00

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来源：果壳网

拓扑很高大上？今天的研究解读完全没看懂？其实，它有最接地气的定理……

定理：你永远不能理顺椰子上的毛。

想象一个表面长满毛的球体，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像鸡冠一样的一撮毛或者像头发一样的旋吗？拓扑学告诉你，这是办不到的。

这个定理被称为“毛球定理”，由布劳威尔首先证明。用数学语言来说就是，在一个球体表面，不可能存在连续的单位向量场。这个定理可以推广到更高维的空间：对于任意一个偶数维的球面，连续的单位向量场都是不存在的。

毛球定理在气象学上有一个有趣的应用：由于地球表面的风速和风向都是连续的，因此由毛球定理，地球上总会有一个风速为 0 的地方，也就是说气旋和风眼是不可避免的。

毛球定理还有一个意想不到的“应用”是在电子游戏里！很多人在玩第一人称射击游戏的时候会发现一个问题：当你上移鼠标，让你的角色抬头看天的时候，一个手抖就会发现自己的角色瞬间转了一百八十度；另一些游戏里同样的现象会发生在朝脚底下看的时候。这就是你遭遇了毛球的“旋”。

出现这一现象是因为游戏引擎需要解决一个数学问题：玩家用鼠标输入的数据只是一个视线轴，游戏画面其实理论上可以绕这个轴任意旋转的。那么实际的画面到底应该哪里是上哪里是下呢？这就需要给每一个鼠标数据对应一个方向——也就是一个向量场。不幸的是，毛球定理指出这个场一定有至少一个不连续点，所以在这个点附近，鼠标极其微小的运动都会导致画面大幅翻转。

而VR设备就不存在这个问题了，因为决定VR画面的不仅仅是鼠标位置这一个变量，它有一整个头戴设备呢，所以就不会出现旋。

定理：对于任何一个火腿三明治，一定能切出一刀，使得其中的两片面包和一片火腿都各自分成大小相同的两等分。

“任何一个”这个词是很宽松的——组成三明治的食材不必相互接触，每个食材本身也不必是一片而可以是很多片。哪怕你把三明治放进搅拌机打成了酱，或者撕碎了通通喂给鸭子，都没有关系——只要你的三明治分成三部分，那就一定有一刀，能够把每一部分都切成等量的两半。

它还可以扩展到n维的情况：如果在 n 维空间中有 n 个物体，那么总存在一个 n - 1 维的超平面，它能把每个物体都分成“体积”相等的两份。

这个定理被称为——如你所料——“火腿三明治定理”。最早由斯蒂芬·巴拿赫证明，在代数拓扑里出现，在测度论里也有重大的用途。

定理：国际日期变更线是不可或缺的。

地球上的时区两两之间是相连的，东八区之后是东九区，再之后是东十区，依此类推——但有一个例外：国际日期变更线。它两边差开了一天。

能不能设计出一种不需要国际日期变更线的时区体系？答案是不能，分得再细再繁琐也不行。这是拓扑学中博苏克-乌拉姆定理在一维情况下的推论，该定理是乌拉姆提出的，由博苏克在1933年证明。

实际上这个定理本身的表述是“任意给定一个从 n 维球面到 n 维空间的连续函数，总能在球面上找到两个与球心相对称的点，他们的函数值是相同的。” 当令n=1的时候，就变成了赤道和时间的对应。

这个定理还有一个推论是，在地球上总存在对称的两点，它们的温度和大气压的值正好都相同。

定理：握住一个装满咖啡的咖啡杯，在不松手也不洒咖啡的前提下，必须让咖啡杯旋转两圈才能让你的手、胳膊和咖啡杯回到原状。

（请勿用热咖啡尝试本实验。）

方法：伸出手向前反手握住咖啡杯，然后逐渐向胸前旋转，从腋下穿过，这是第一圈。此时咖啡杯转完了一圈，但胳膊已经扭曲成了奇怪的形状。这时将胳膊抬高，从头顶再转过第二圈，才能让一切复原。

知道你们没读懂，我们特邀编辑Calo演示了一遍。手残党瞩目：你们用空杯子就好，以免灌自己一脖子水。

实际上你的手和咖啡杯的旋转在拓扑学中称为旋转群SO（3）；完全回到原状就等于在SO（3）里画出了一个环。拓扑学中，SO（3）的基本群是“Z/2”——这意味着，你要让咖啡杯复原两次，才能让你的整个胳膊复原一次。

定理：把一张当地的地图平铺在地上，则总能在地图上找到一点，这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置。

也就是说，如果在商场的地板上画了一张整个商场的地图，那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记。

1912 年，荷兰数学家布劳威尔证明了这么一个定理：假设 D 是某个圆盘中的点集，f 是一个从 D 到它自身的连续函数，则一定有一个点 x ，使得 f(x) = x 。换句话说，让一个圆盘里的所有点做连续的运动，则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理（Brouwer fixed point theorem）。

除了上面的“地图定理”，布劳威尔不动点定理还有很多其他奇妙的推论。如果取两张大小相同的纸，把其中一张纸揉成一团之后放在另一张纸上，根据布劳威尔不动点定理，纸团上一定存在一点，它正好位于下面那张纸的同一个点的正上方。